En matemáticas, las funciones determinan el tipo de relación que guardan dos elementos o variables entre sí. Por lo tanto, son muy útiles para describir fenómenos, en especial en áreas como las finanzas, estadísticas, ingeniería, medicina, economía, entre otros. Hoy queremos dedicarnos este artículo a hablar sobre qué es una función lineal y cómo se representa, además de abordar terminología básica como función lineal en álgebra, cálculo lineal, entre otros. Así que te invitamos a leerlo si este tema es de tu interés.
Una función lineal relaciona dos variables mediante una tasa de cambio constante y se representa con una recta. En la expresión f(x)=mx+b, m indica la pendiente y b el valor inicial o corte con el eje vertical. Para representarla pueden utilizarse una fórmula, una tabla de valores o su gráfica. Para aclarar tus dudas, hemos preparado este artículo. Quédate con nosotros y aprende sobre qué es y la importancia de la función lineal.
- Una función lineal se reconoce por su tasa de cambio constante: cuando una variable aumenta en cantidades iguales, la otra cambia siempre en la misma proporción.
- La pendiente determina cómo se comporta la recta: si es positiva, la función crece; si es negativa, decrece; y si vale cero, la gráfica es horizontal.
- Fórmula, tabla y gráfica representan la misma relación: una función puede expresarse algebraicamente, mediante pares de valores o como una recta en el plano cartesiano.
¿Qué es una función lineal y cómo se representa?
Esta es la definición de función lineal. Dentro de la geometría analítica y álgebra, se conoce como una función polinómica de primer grado que se representa de la siguiente forma:
Función lineal fórmula → f (x) = m ⋅ x + b
Si analizamos la expresión o fórmula lineal, vemos cómo, al tener el valor de x, lo primero que debe hacerse es multiplicarlo por m y el producto sumarlo a b. Por lo tanto, el resultado de toda esta operación será el valor de f de x (f (x)).
Las funciones lineales son muy útiles para el cálculo de fenómenos que ocurren en la vida cotidiana. Por ejemplo, el costo de los servicios básicos como el agua, la luz o el gas puede ser determinado a través de esta función. Además del monto, será posible tener en cuenta la proporción en los casos de aumentos.
La función lineal tiene características que pueden mencionarse:
- Su representación en el plano cartesiano corresponde a una línea recta (razón por la que se le conoce como función lineal).
- m representa la tasa de cambio o pendiente, mientras que b es una constante que indica la ordenada en el origen.
Con esto, es posible responder a qué es una función lineal en matemáticas.
Elementos de la función lineal
Atendiendo a su forma de expresión f (x) = m ⋅ x + b, los elementos que la integran son:
- x: variable independiente (su valor no depende de ninguna otra variable y puede ser asignado libremente).
- f (x): en algunos casos es representada con el símbolo y. Corresponde a la variable dependiente (su valor depende de x).
- m: se refiere a la pendiente, la cual determina el grado de inclinación de la recta.
b: corresponde a la ordenada en el origen, es decir, el valor de f(x) cuando x = 0 y el punto donde la recta corta el eje y.
Cómo calcular la pendiente de una función lineal
La pendiente de una función lineal mide cuánto cambia la variable dependiente cuando la variable independiente aumenta una unidad. Si se conocen dos puntos de la recta, (x1, y1) y (x2, y2), puede calcularse con la fórmula m=(y2-y1)/(x2-x1). Esta es la fórmula de la pendiente de una función lineal cuando se conocen dos puntos, siempre que x1≠x2.
Una pendiente positiva corresponde a una función creciente; una pendiente negativa, a una función decreciente; y una pendiente igual a cero genera una recta horizontal. Una vez conocido m, el valor de b puede obtenerse sustituyendo las coordenadas de un punto en y=mx+b.
- La pendiente no indica solo la inclinación visual de la recta. También expresa cuánto cambia y cada vez que x aumenta una unidad, por lo que permite interpretar matemáticamente la relación entre ambas variables.
Formas de representación de la función lineal
La función algebraica representación gráfica se describe a continuación. Como vimos, a través de una expresión o fórmula sirve para representar una función lineal, sin embargo, este proceso también es posible a través de una tabla o un gráfico.
Para dejar más en claro qué es una función lineal y cómo se representa, vayamos a un ejemplo.
Tabla
Tenemos la siguiente función: f (x) = 2x + 0
Según esta fórmula, es posible determinar qué tabla y valores deben registrarse.
Aquí, los valores de x fueron designados de forma arbitraria, mientras que los de y se originaron a partir del cálculo de una ecuación lineal:
y = m ⋅ x
De modo que, el primer valor se calcula a partir de la multiplicación de m= 2 por x = 0.
y = 2 ⋅ 0
= 0
Mientras que el segundo se calcula por m = 2 por x = 2. Quedan así:
y = 2 ⋅ 2
= 4
Al fijarnos en la tabla y en la operación, vemos cómo los valores representan puntos que pueden estar en el plano cartesiano.
Representación cartesiana
Para las gráficas lineales, tomamos los valores (x, y) plasmados en la tabla, o los obtenidos a través de la operación y representamos.
A = (0,0)
B = (2,4)
C = (4,8)
Como vemos, se forma una recta con crecimiento proporcional. Se trata de una función lineal creciente: cuando aumenta el valor de x, el valor de y aumenta de forma proporcional.
¿Cómo saber si una función es lineal?
Para identificar una función lineal en el sentido habitual de la forma y=mx+b, conviene comprobar que la variable aparece elevada a uno, que la tasa de cambio es constante y que su representación gráfica es una recta. En una tabla de valores, esto se aprecia cuando incrementos iguales de x producen variaciones iguales de y. En este contexto, que una función sea lineal puede resumirse en que existe una tasa de cambio constante entre ambas variables.
- Si aparece x2, x3 u otra potencia distinta de uno, la función no es de primer grado.
- Si la variable está en un denominador, dentro de una raíz o como exponente, la relación no tiene la forma mx+b.
- Si la gráfica se curva o cambia su tasa de variación, estamos ante una función no lineal.
Esta comparación ayuda a distinguir funciones lineales y no lineales sin depender únicamente de la apariencia de una fórmula.
Dominio, recorrido y derivada de una función lineal
Cuando se trabaja con f(x)=mx+b sobre los números reales, el dominio de una función lineal es, en general, todo ℝ. Si m≠0, el recorrido de una función lineal de este tipo también es ℝ; si m=0, la función es constante y el recorrido queda reducido al valor b. Además, la derivada de una función lineal es constante y coincide con la pendiente: f′(x)=m.
Al igual que cada aspecto de las matemáticas, las funciones lineales son aplicables en la realidad. Por eso, te invitamos a formarte en lo que sería una escuela especializada en negocios, donde podrás aprender sobre este y otros temas relacionados.
Ejemplos de función lineal
Veamos, a continuación, ejemplos de funciones lineales. Presentamos dos casos: una función lineal creciente y una función lineal decreciente.
Ejemplo de función lineal creciente
Vamos a tomar este supuesto para realizar el ejemplo de función lineal. Partimos de la premisa de que, debido a factores como la baja producción de olivo y la alta demanda del producto, el precio del aceite de oliva virgen extra ha tenido un incremento considerable en los principales centros de abasto, como comercios de barrio, supermercados, entre otros. Para explicar este caso, vamos a observar el aumento de este precio desde 2024 hasta 2034.
Sabemos que la función lineal tiene la siguiente forma:
f(x)= m ⋅ x +b
Como vimos, m representa a la pendiente o el cambio en el valor de f(x) por cada unidad de x. Como vimos, m representa la pendiente o el cambio en el valor de f(x) por cada unidad de x. En nuestro caso, utilizaremos como supuesto un aumento fijo anual de 0,3 euros por litro. A su vez, b es el valor inicial, donde tomamos como referencia el precio del aceite en 2024. Por último, x es la variable independiente, es decir, los años transcurridos desde el año base.
Paso 1. Establecer los datos iniciales
Entonces, podemos decir que los datos iniciales son los siguientes:
- Precio base en 2024: 10 euros por litro (b=10)
- Aumento anual fijo supuesto: 0,3 euros por litro (m = 0,3). Este valor equivale al 3 % del precio base de 10 euros en el primer año, pero el modelo mantiene después un incremento absoluto constante y no una tasa porcentual compuesta.
- Variable: número de años desde 2024 (x)
En este ejemplo, el litro funciona como unidad de capacidad dentro del sistema métrico decimal, que permite expresar y convertir magnitudes como longitud, masa, capacidad, superficie y volumen.
Paso 2. Escribir la función lineal
El siguiente paso es escribir la función lineal:
f(x) = 0.3 ⋅ x +10, ya que
- f(x) es el precio de aceite en euros después de x años
- x es el número de años transcurridos
Paso 3. Calcular los precios
Como siguiente paso, se calcula el precio en distintos años para observar cómo evoluciona según el aumento fijo establecido.
En 2024 (x = 0)
f(0) = 0,3 ⋅ 0 + 10 = 10 euros
En 2025 (x = 1)
f(1) = 0,3 ⋅ 1 + 10 = 10,3 euros
En 2026 (x = 2)
f(2) = 0.3 ⋅ 2 + 10 euros = 10.6 euros
En 2030 (x = 6)
f(6) = 0.3 ⋅ 6 + 10 euros = 11.8 euros
En 2034 (x = 10)
f(10) = 0,3 ⋅ 10 + 10 = 13 euros
Paso 4. Graficar la función
La gráfica de la función es la siguiente:
Ejemplo de función lineal decreciente
Ahora vamos a construir una función lineal decreciente que modela la reducción en las ventas de botellas de aceite de oliva virgen extra de 1 litro en los 12 meses que componen el año 2024. Ahora vamos a construir una función lineal decreciente que modela la reducción en las ventas de botellas de aceite de oliva virgen extra de 1 litro durante 12 meses. Para ello, suponemos un aumento fijo mensual del precio.
Recordemos que la función lineal decreciente posee esta forma:
f(x)=−m ⋅ x + b
Sabemos que m corresponde a la pendiente, que tiene que ver con la disminución en las ventas de botellas por cada euro que sube el precio. El signo negativo que antecede a m, en este caso, indica que la función decrece. No olvidemos que b es el valor inicial o constante, es decir, la cantidad de botellas vendidas cuando el precio no varía. Por último, x es la variable independiente, es decir, el incremento del precio respecto del precio base.
Paso 1. Establecer los datos iniciales
- Precio base del aceite de oliva: 10 euros por litro
- Incremento mensual supuesto en el precio: 0,3 € por mes
- Ventas estimadas al precio base: 1000 botellas por mes
- Reducción en ventas por cada euro de aumento: 50 botellas menos por euro de aumento (m = 50)
Paso 2. Escribir la función lineal decreciente
- Precio mensual
El precio aumenta 0.3 € cada mes. La función para el precio mensual es:
Precio(t) = 10 + 0,3 ⋅ t
Donde t es el número del mes (t = 0 para enero, t = 1 para febrero, y así sucesivamente).
- Ventas mensuales
A medida que sube el precio, las ventas disminuyen. La función para las ventas mensuales es:
Ventas(t) = −50 ⋅ (Precio(t) − 10) + 1000
Donde:
Precio(t) − 10 es el incremento en el precio respecto al precio base.
Paso 3. Calcular los precios y las ventas
Ahora se calculan los precios y las ventas para cada mes de 2024.
| Mes | Precio (€) | Ventas (botellas) |
|---|---|---|
| Enero | 10.0 | 1000 |
| Febrero | 10.3 | 985 |
| Marzo | 10.6 | 970 |
| Abril | 10.9 | 955 |
| Mayo | 11.2 | 940 |
| Junio | 11.5 | 925 |
| Julio | 11.8 | 910 |
| Agosto | 12.1 | 895 |
| Septiembre | 12.4 | 880 |
| Octubre | 12.7 | 865 |
| Noviembre | 13.0 | 850 |
| Diciembre | 13.3 | 835 |
Paso 4. Elaborar el gráfico
Esta es la gráfica de función lineal:
Como vemos, la línea roja representa la disminución de las ventas, mientras que la línea azul, la escalada de los precios.
5 ejemplos de funciones lineales en la vida cotidiana
Las funciones lineales en la vida cotidiana sirven para modelar situaciones en las que una cantidad cambia a un ritmo constante respecto de otra. Estos modelos son especialmente útiles para hacer estimaciones, comparar escenarios y prever valores dentro de un intervalo razonable.
- Distancia recorrida: si un vehículo mantiene velocidad constante, la distancia puede expresarse como una cantidad inicial más velocidad por tiempo.
- Pago por horas: cuando cada hora trabajada se remunera con la misma tarifa, el salario aumenta de forma proporcional al número de horas.
- Tarifa con cuota fija: un servicio puede combinar una cantidad inicial con un coste constante por unidad consumida.
- Aparcamiento: una cuota de entrada más un precio fijo por hora puede aproximarse mediante una expresión de primer grado.
- Presupuesto de materiales: si cada unidad tiene el mismo precio, el coste total aumenta a una tasa constante con la cantidad comprada.
En situaciones reales pueden existir tramos, descuentos, impuestos u otras condiciones que hagan que el modelo deje de ser lineal. Por eso, antes de usar una función como modelo matemático, conviene comprobar que la tasa de cambio se mantiene aproximadamente constante.
- Antes de utilizar una función lineal para representar una situación real, comprueba si existe un valor inicial y si la cantidad cambia siempre al mismo ritmo. Si el coste, la distancia, el salario o el consumo aumentan una cantidad fija por cada unidad adicional, un modelo lineal puede ser adecuado.
Ejercicios de funciones lineales resueltos
Ejercicio 1. Calcular valores y representar la recta
Supongamos la función f(x)=3x+2. Su pendiente es m=3 y su ordenada en el origen es b=2. Para construir una tabla de valores podemos elegir, por ejemplo, x=0, 1 y 2: así obtenemos f(0)=2, f(1)=5 y f(2)=8. Los puntos (0,2), (1,5) y (2,8) quedan alineados en una misma recta.
Ejercicio 2. Obtener la función a partir de dos puntos
Si una recta pasa por (1,4) y (3,8), su pendiente es m=(8-4)/(3-1)=2. Sustituyendo el punto (1,4) en y=mx+b, queda 4=2·1+b, por lo que b=2. La función resultante es f(x)=2x+2.
Estos procedimientos muestran cómo calcular una función lineal a partir de su expresión o de dos puntos: se identifican los datos, se calcula la pendiente cuando sea necesario y se obtiene la ecuación que representa la recta.
- Una recta puede describir correctamente una situación durante un intervalo y dejar de hacerlo fuera de él. Prolongar una función lineal indefinidamente puede producir estimaciones poco realistas si cambian las tarifas, las condiciones económicas, la velocidad, el consumo u otras variables del problema.
Preguntas frecuentes sobre funciones lineales
¿Qué es una función lineal?
Una función lineal es una relación matemática cuya gráfica es una recta y cuya tasa de cambio se mantiene constante. En el uso escolar habitual suele escribirse como f(x)=mx+b, donde m representa la pendiente y b el valor de la función cuando x=0.
¿Cuál es la fórmula de la función lineal?
La forma más utilizada es f(x)=mx+b. La letra x representa la variable independiente, f(x) o y la variable dependiente, m la pendiente y b la ordenada en el origen. Si b=0, la recta pasa por el origen de coordenadas.
¿Cómo saber si una función es lineal?
Puede comprobarse observando si tiene una tasa de cambio constante y si su gráfica es una recta. En una expresión de primer grado, la variable aparece elevada a uno. En una tabla, incrementos iguales de la variable independiente producen cambios iguales en la variable dependiente.
¿Cómo hallar la pendiente de una función lineal?
Si la función está escrita como y=mx+b, la pendiente es el coeficiente m. Si se conocen dos puntos, se calcula dividiendo el cambio vertical entre el cambio horizontal: m=(y2-y1)/(x2-x1). El signo de m indica si la recta crece o decrece.
¿Cómo graficar una función lineal?
Se pueden elegir varios valores de x, sustituirlos en la función y obtener los correspondientes valores de y. Después se representan los pares ordenados en el plano cartesiano y se traza la recta que los une. También puede utilizarse directamente la pendiente y el corte con el eje y.
¿Para qué sirven las funciones lineales?
Sirven para describir y estimar relaciones con cambio constante. Pueden emplearse en problemas de distancia y tiempo, costes, tarifas, salarios o consumo, siempre que la relación pueda aproximarse mediante una recta. También ayudan a interpretar tendencias y a comparar cómo varían dos magnitudes entre sí.
