Las integrales permiten acumular cambios infinitesimales para calcular áreas, longitudes, volúmenes o magnitudes físicas, tales como trabajo y probabilidad. De esta forma, en este artículo, encontrarás definiciones claras, así como un compendio práctico y ejemplos resueltos para que consultes y apliques con seguridad tu tabla de integrales.
¿Qué es una integral?
Una integral indefinida es la familia de antiderivadas de una función: si F′(x)=f(x), entonces ∫f(x) dx=F(x)+C, donde C es una constante real.
La integral definida abf(x) dx representa el “acumulado” de f entre a y b.
El Teorema Fundamental del Cálculo conecta ambos conceptos: si F es antiderivada de f, entonces abf(x) dx=F(b)−F(a).
Para validar y ampliar fórmulas, puedes consultar la Tabla de integrales de OpenStax (apéndice en español con notación estándar).
En este sentido, distinguiremos entre integrales indefinidas (familias de antiderivadas) y definidas (un número real que representa acumulado), apoyándonos en el Teorema Fundamental del Cálculo.
Además, repasaremos algunas técnicas clave como sustitución, integración por partes e identidades trigonométricas/hiperbólicas. En España, es habitual la notación “sen” para el seno, pero, que esto no te confunda, puesto que, las reglas son idénticas.
Ten a mano papel para cambios de variable simples (u=ax+b) y revisar constantes y signos.
Tabla de integrales más usadas en matemáticas
Esta tabla de integrales agrupa los casos más frecuentes que verás en ejercicios y exámenes, con notación homogénea (LaTeX) para que destaque igual que en el artículo anterior.
Integrales básicas
- ∫k dx=kx+C (k constante).
- ∫xn dx=xn+1n+1+C,n−1.
- ∫1x dx=ln∣x∣+C.
- ∫0 dx=C.
Integrales de funciones exponenciales y logarítmicas
- ∫ex dx=ex+C.
- ∫eax dx=1a eax+C,a0.
- ∫ax dx=axlna+C,a>0, a1.
- ∫lnx dx=xlnx−x+C,x>0.
Integrales de funciones trigonométricas
- ∫sinx dx=−cosx+C.
- ∫cosx dx=sinx+C.
- ∫tanx dx=ln∣secx∣+C.
- ∫sec2x dx=tanx+C.
- ∫secx tanx dx=secx+C.
- ∫csc2x dx=−cotx+C.
- ∫cscx cotx dx=−cscx+C.
Así pues, para sinmx cosnx usa identidades, tales como, por ejemplo: sin2x=1−cos2x2).
Integrales de funciones hiperbólicas
- ∫sinhx dx=coshx+C.
- ∫coshx dx=sinhx+C.
- ∫tanhx dx=lncoshx+C.
- ∫sech2x dx=tanhx+C.
Integrales con cambio de variable típico
-
Si u=ax+b, entonces ∫f(ax+b) dx=1a∫f(u) du.
-
Radicales habituales:
∫dxa2−x2=arcsin xa+C,∣x∣<a.
∫dxa2+x2=1aarctan xa+C,a>0.
-
Racionales simples: descompón en fracciones simples antes de integrar.
-
Productos logarítmicos/polinomiales: considera partes, ∫u dv=u v−∫v du.
Ejemplos de integrales resueltas paso a paso
Ejemplo 1: ∫ (2x) dx
- Factoriza la constante: ∫2x dx=2∫x dx.
- Potencias: ∫x dx=x22+C2x22=x2+C.
Resultado: x2+C.
Ejemplo 2: ∫ sen(x) cos(x) dx
Opción A (sustitución):
Sea u=sinxdu=cosx dx. Entonces
∫sinx cosx dx=∫u du=u22+C=sin2x2+C.
Opción B (identidad trigonométrica):
sinx cosx=12sin(2x)∫sinx cosx dx=12∫sin(2x) dx=−14cos(2x)+C.
Ejemplo 3: ∫ e^(2x) dx
Usa ∫eax dx=1aeax+C.
Resultado: 12 e2x+C.
Propiedades de las integrales
Las propiedades de las integrales son las siguientes:
Linealidad
Para f,g integrables y escalares ,:
∫(f+g) dx= ∫f dx+ ∫g dx.
En definida: ab(f+g) dx= abf dx+ abg dx.
Constantes multiplicativas
Si k es constante: ∫k f(x) dx=k ∫f(x) dx.
En definida: abk f(x) dx=k abf(x) dx.
Adición de funciones
∫f(x)+g(x) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx.
Aditividad por intervalos: si a<c<b, entonces
abf=acf+cbf.
Diferencias entre integral definida e indefinida
La integral indefinida ∫f(x) dx produce una familia F(x)+C. Sirve para hallar antiderivadas y resolver problemas simbólicos, mientras que, por su parte, la integral definida abf(x) dx, devuelve un número real (acumulado con signo) y se calcula como F(b)−F(a).
Así pues, el Teorema Fundamental del Cálculo garantiza que derivar y acumular son procesos inversos en condiciones usuales de continuidad.
En titulaciones STEM se evalúan ambas modalidades con sustitución, partes e identidades trigonométricas.
En definitiva, hay que comprobar siempre el dominio de la función y la continuidad en el intervalo antes de usar una fórmula, y verificar el resultado derivándolo, de manera que, si la derivada de la antiderivada recupera la función original, vas por buen camino.
La tabla de integrales se trata de una herramienta fundamental en matemáticas
Dominar una tabla de integrales acelera el reconocimiento de patrones y reduce errores. Antes de integrar, clasifica el tipo de función, bien sea potencia, exponencial, logarítmica, trigonométrica o hiperbólica y, elige la técnica adecuada, probando primero la sustitución, mientras que, si no encaja, considera partes o identidades. En integrales definidas, evalúa con cuidado los límites y justifica el signo, ya que las áreas negativas existen.
Asimismo, hay que procurar evitar fallos típicos como olvidar “+C”; confundir ∫1xdx=ln∣x∣+C, o no ajustar el factor 1/a tras u=ax+b, siendo preciso verificar tu resultado derivando la respuesta y, si es definida, contrástalo con una estimación gráfica rápida.
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