En el estudio del cálculo diferencial, una de las herramientas más utilizadas es la tabla de derivadas, siendo un recurso que concentra en un solo lugar las fórmulas fundamentales que permiten calcular derivadas de manera rápida y eficiente, sin necesidad de repetir cada vez el proceso formal desde la definición.
Así pues, los estudiantes y profesionales pueden ahorrar tiempo al resolver ejercicios, enfocándose en la aplicación de reglas y la interpretación de resultados más que en los cálculos repetitivos.
Derivadas inmediatas
Las tablas de derivadas inmediatas deben ser dominadas por el estudiante al iniciar el estudio de las funciones derivables.
Estas se llaman de ese modo debido a que, no requieren aplicar procedimientos largos ni fórmulas complejas, sino que, se obtienen directamente de definiciones ya establecidas.
Estas reglas incluyen, por ejemplo, la derivada de una constante, de la función potencia, de la función exponencial, del logaritmo y de las funciones trigonométricas más comunes. Aprenderlas y memorizarlas es esencial, ya que se convierten en la base para resolver derivadas más avanzadas mediante técnicas como la regla del producto, el cociente o la cadena.
Derivada de x
La derivada de la variable independiente respecto de sí misma es 1: ddxx=1. La pendiente de la recta identidad es constante e igual a 1.
Derivada de función afín
Si f(x)=ax+b (a,b constantes), entonces f′(x)=a. Ejemplo: si f(x)=3x−5, entonces f′(x)=3.
Derivada de una raíz
Reescribe la raíz como potencia fraccionaria y aplica la potencia: ddx [u(x)]1/n=1n[u(x)]1n−1 u′(x), con nN y u(x)>0. Ejemplo: ddx (2x+1)1/3=13(2x+1)−2/32.
Derivada de una raíz cuadrada
Caso particular anterior: ddx u=u′2 u. En particular, ddx x=12x, para x>0.
Derivada de una potencia
Para xn con n real: ddx xn=n xn−1. En compuesta: ddx [u(x)]n=n [u(x)]n−1u′(x).
Derivada de un producto
Si h(x)=u(x) v(x), entonces h′(x)=u′(x) v(x)+u(x) v′(x). Ejemplo: ddx[x sinx]=sinx+xcosx.
Derivada de una constante por una función
Para c constante real: ddx [c f(x)]=c f′(x). Ejemplo: ddx[7 lnx]=7x.
Derivada de constante partida por una función
Para c constante y f(x)0: ddx cf(x)=−c f′(x)[f(x)]2. Es un caso de la regla del cociente.
Derivada de un cociente
Si h(x)=u(x)v(x) y v(x)0, entonces h′(x)=u′(x) v(x)−u(x) v′(x)[v(x)]2. Ejemplo: ddx x2x−1=2x(x−1)−x2(x−1)2=x(x−2)(x−1)2.
Derivadas exponenciales y logarítmicas
Las funciones exponenciales y logarítmicas se derivan con reglas específicas y, si procede, con la regla de la cadena.
Cuando tengas dudas operativas, vuelve a la tabla de derivadas y comprueba el dominio de cada expresión.
Derivada de la función exponencial
Para base a>0 y a1: ddx ax=ax lna. En compuesta: ddx au(x)=au(x) lnau′(x). Ejemplo: ddx 32x=32x ln32.
Derivada de la función exponencial de base e
ddx ex=ex. En general, ddx eu(x)=eu(x) u′(x).
Derivada de un logaritmo neperiano
ddx lnx=1x, con x>0. En compuesta: ddx lnu(x)=u′(x)u(x). Ejemplo: ddx ln(5×2)=10x5x2=2x.
Derivadas trigonométricas
Las tablas de derivadas trigonométricas son aquellas que se aplican a las funciones trigonométricas como coseno, seno, tangente y sus inversas. Estas son fundamentales en el cálculo porque permiten analizar el comportamiento de fenómenos periódicos y ondulatorios presentes en la física, la ingeniería y otras ciencias aplicadas.
Asimismo, aprenderlas es clave para resolver problemas relacionados con oscilaciones, movimientos circulares y señales, puesto que, constituyen una extensión natural de las reglas básicas de derivación y se combinan con técnicas como la regla de la cadena o del producto.
Derivada del coseno
ddx cosx=−sinx. En compuesta: ddx cosu=−sin(u) u′. Ejemplo: ddx cos(2x)=−sin(2x)2.
Derivada del seno
ddx sinx=cosx. En compuesta: ddx sinu=cos(u) u′. Ejemplo: ddx sin(x2)=cos(x2)2x.
Derivada de la tangente
ddx tanx=sec2x. En compuesta: ddx tanu=sec2(u) u′.
Derivada de la cotangente
ddx cotx=−csc2x. En compuesta: ddx cotu=−csc2(u) u′.
Derivada de la secante
ddx secx=secx tanx. En compuesta: ddx secu=sec(u) tan(u) u′.
Derivada de la cosecante
ddx cscx=−cscx cotx. En compuesta: ddx cscu=−csc(u) cot(u) u′.
Derivadas trigonométricas inversas
Las tablas de derivadas de las funciones trigonométricas inversas permiten calcular la pendiente de curvas que involucran expresiones como arcoseno, arcocoseno o arcotangente, entre otras.
Estas fórmulas son esenciales porque amplían el campo de aplicación del cálculo, ofreciendo herramientas para resolver integrales, modelar fenómenos geométricos y analizar relaciones entre ángulos y longitudes.
De tal forma, dominar estas derivadas es clave para estudiantes de matemáticas, ingeniería y física, ya que, aparecen con frecuencia en ejercicios avanzados y en problemas donde las funciones trigonométricas directas no bastan para describir la situación.
Derivada del arcoseno
ddx arcsinx=11−x2, con |x|<1. En compuesta: ddx arcsinu=u′1−u2.
Derivada del arcocoseno
ddx arccosx=−11−x2, con |x|<1. En compuesta: ddx arccosu=−u′1−u2.
Derivada del arcotangente
ddx arctanx=11+x2, para todo xR. En compuesta: ddx arctanu=u′1+u2.
Derivada del arcocotangente
ddx arccot x=−11+x2. En compuesta: ddx arccot u=−u′1+u2.
Derivada del arcosecante
Para |x|>1: ddx arcsec x=1|x| x2−1. En compuesta: ddx arcsec u=u′|u| u2−1, en el dominio correspondiente.
Derivada del arcocosecante
Para |x|>1: ddx arccsc x=−1|x| x2−1. En compuesta: ddx arccsc u=−u′|u| u2−1.
Derivada la función potencial – exponencial
Para f(x)=xx (función «potencial–exponencial»), usa derivación logarítmica: si y=xx, entonces lny=xlnx. Al derivar: y′y=1+lnx y, por tanto, ddx xx=xx(1+lnx), con x>0.
Regla de la cadena
Si h(x)=g(f(x)), entonces h′(x)=g′(f(x))f′(x). Identifica primero la función exterior (g) y la interior (f). Encadena con producto y cociente cuando aparezcan simultáneamente en la expresión.
Fórmula de derivada implícita
Si una curva viene dada por F(x,y)=0 y Fy0, entonces dydx=−FxFy. Desarrollo con ejemplos clásicos (como x2+y2=1).
La tabla de derivadas es una base esencial del cálculo diferencial
Dominar una tabla de derivadas te ayuda a reconocer patrones y derivar con rapidez, evitando errores en exámenes y en problemas reales, de forma que, antes de resolver, clasifica la función, ya sea potencia, logaritmo, trigonométrica, inversa o compuesta y aplica la regla adecuada.
Asimismo, cuando la expresión es compleja, combina producto, cociente y cadena, mientras que, si no puedes despejar y, recurre a derivación implícita.
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