Fórmulas y propiedades esenciales de una tabla de integrales

Las integrales permiten acumular cambios infinitesimales para calcular áreas, longitudes, volúmenes o magnitudes físicas, tales como trabajo y probabilidad. De esta forma, en este artículo, encontrarás definiciones claras, así como un compendio práctico y ejemplos resueltos para que consultes y apliques con seguridad tu tabla de integrales.

---

¿Qué es una integral?

Una integral indefinida es la familia de antiderivadas de una función: si F′(x) = f(x), entonces ∫ f(x) dx = F(x) + C, donde C es una constante real.

La integral definida ∫_a^b f(x) dx representa el “acumulado” de f entre a y b.

El Teorema Fundamental del Cálculo conecta ambos conceptos: si F es antiderivada de f, entonces ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Para validar y ampliar fórmulas, puedes consultar la Tabla de integrales de OpenStax (apéndice en español con notación estándar).

En este sentido, distinguiremos entre integrales indefinidas (familias de antiderivadas) y definidas (un número real que representa acumulado), apoyándonos en el Teorema Fundamental del Cálculo.

Además, repasaremos algunas técnicas clave como sustitución, integración por partes e identidades trigonométricas/hiperbólicas. En España, es habitual la notación “sen” para el seno, pero, que esto no te confunda, puesto que, las reglas son idénticas.

Ten a mano papel para cambios de variable simples (u = ax + b) y revisar constantes y signos.

Tabla de integrales más usadas en matemáticas

Esta tabla de integrales agrupa los casos más frecuentes que verás en ejercicios y exámenes, con notación homogénea (LaTeX) para que destaque igual que en el artículo anterior.

Integrales básicas

• ∫ k dx = kx + C, con k constante.
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C, con n ≠ -1.
• ∫ 1/x dx = ln|x| + C, con x ≠ 0.
• ∫ 0 dx = C.

Integral de una constante ∫k dx = kx + C, con k constante Integral de una potencia ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ -1 Integral de 1/x ∫1/x dx = ln|x| + C, con x ≠ 0 Integral de cero ∫0 dx = C Las zonas sombreadas representan la idea de área acumulada desde un punto de referencia. La constante +C desplaza verticalmente la primitiva. La regla de la potencia vale para n ≠ -1; cuando n = -1 aparece el caso especial ∫1/x dx = ln|x| + C. En la tarjeta de 1/x se muestra la rama positiva, x > 0.

Integrales de funciones exponenciales y logarítmicas

• ∫ e^x dx = e^x + C.
• ∫ e^ax dx = (1/a)e^ax + C, con a ≠ 0.
• ∫ a^x dx = a^x / ln(a) + C, con a > 0 y a ≠ 1.
• ∫ ln(x) dx = xln(x) – x + C, con x > 0.

Integral de e^x ∫e^x dx = e^x + C Integral de e^ax ∫e^ax dx = e^ax/a + C, a ≠ 0 Integral de a^x ∫a^x dx = a^x/ln(a) + C, a > 0, a ≠ 1 Integral de ln(x) ∫ln(x) dx = xln(x) – x + C, x > 0 Las zonas sombreadas representan área firmada desde un punto de referencia. En e^x, la primitiva conserva la misma forma. En e^ax, el dibujo muestra a = 2, por eso aparece el factor 1/2. En a^x, el dibujo muestra a = 2; si 0 < a < 1, la exponencial sería decreciente y ln(a) sería negativo. En ln(x), la función solo existe para x > 0 y su primitiva tiene un mínimo en x = 1.

Integrales de funciones trigonométricas

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C.
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C.
• ∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C.
• ∫ sec²(x) dx = tan(x) + C.
• ∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C.
• ∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C.
• ∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C.

Integral de sin(x) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C Integral de cos(x) ∫cos(x) dx = sin(x) + C Integral de tan(x) ∫tan(x) dx = ln|sec(x)| + C Integral de sec²(x) ∫sec²(x) dx = tan(x) + C Integral de sec(x)tan(x) ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C Integral de csc²(x) ∫csc²(x) dx = -cot(x) + C Integral de csc(x)cot(x) ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C Las curvas continuas representan la función integranda y las curvas azules discontinuas representan una primitiva. Las zonas sombreadas indican área firmada. En tan(x), sec²(x) y sec(x)tan(x) se muestra el intervalo (-π/2, π/2). En csc²(x) y csc(x)cot(x) se muestra el intervalo (0, π), evitando unir curvas a través de asíntotas verticales.

Así pues, para integrar expresiones del tipo sin^m(x) cosⁿ(x), se utilizan identidades trigonométricas, como por ejemplo:

sin²(x) = (1 – cos(2x)) / 2

Integrales de funciones hiperbólicas

• ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C
• ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C
• ∫tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C
• ∫sech²(x) dx = tanh(x) + C

Integral de sinh(x) ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C Integral de cosh(x) ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C Integral de tanh(x) ∫tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C Integral de sech²(x) ∫sech²(x) dx = tanh(x) + C Las curvas continuas representan la función integrada y las curvas azules discontinuas representan una primitiva. Las zonas sombreadas son área firmada. Todas estas funciones están definidas para todo x real.

Integrales con cambio de variable típico

• Si u=ax+b, entonces ∫f(ax+b) dx=1a∫f(u) du.
• Radicales habituales:
  • ∫dxa2−x2=arcsin ⁣xa+C,∣x∣<a.
  • ∫dxa2+x2=1aarctan ⁣xa+C,a>0.
• Racionales simples: descompón en fracciones simples antes de integrar.
• Productos logarítmicos/polinomiales: considera partes, ∫u dv=u v−∫v du.

Cambio de variable Si u = ax + b, entonces ∫f(ax+b)dx = (1/a)∫f(u)du Radical tipo arcsin ∫ dx/√(a²-x²) = arcsin(x/a) + C Radical racional tipo arctan ∫ dx/(a²+x²) = (1/a)arctan(x/a) + C Fracciones simples Descompón una racional antes de integrar Integración por partes ∫u dv = uv – ∫v du En este bloque, las tarjetas de radicales sí muestran función integranda y primitiva. Las tarjetas de sustitución, fracciones simples e integración por partes son diagramas de método: no representan una única curva, sino una transformación del problema para hacerlo integrable.

Ejemplos de integrales resueltas paso a paso

Ejemplo 1: ∫ 2x dx

1. Factoriza la constante: ∫ 2x dx = 2∫ x dx.
2. Potencias: ∫ x dx = x²/2 + C. Entonces, 2∫ x dx = 2 · x²/2 + C = x² + C.

Resultado: x² + C.

La función integranda es y = 2x y una primitiva es F(x) = x² + C. Resultado: x² + C

Ejemplo 2: ∫ sen(x) cos(x) dx

Opción A (sustitución):

Sea u = sen(x), du = cos(x) dx. Entonces

∫ sen(x) cos(x) dx = ∫ u du = u²/2 + C = sen²(x)/2 + C.

Opción B (identidad trigonométrica):

sen(x) cos(x) = (1/2)sen(2x). Entonces, ∫ sen(x) cos(x) dx = (1/2)∫ sen(2x) dx = -cos(2x)/4 + C.

La función integranda es y = sen(x)cos(x) = ½sen(2x). Resultado: sen²(x)/2 + C
Forma equivalente: -cos(2x)/4 + C

Ejemplo 3: ∫ e^2x dx

Usa ∫ e^ax dx = (1/a)e^ax + C, con a ≠ 0.

Resultado: (1/2)e^2x + C.

La función integranda es y = e^2x y una primitiva es F(x) = ½e^2x + C. Resultado: (1/2)e^2x + C

Propiedades de las integrales

Las propiedades de las integrales son las siguientes:

Linealidad

Para f, g integrables y escalares α, β:

∫ (αf + βg) dx = α∫ f dx + β∫ g dx.

En definida: ∫_a^b (αf + βg) dx = α∫_a^b f dx + β∫_a^b g dx.

Constantes multiplicativas

Si k es constante: ∫ k f(x) dx = k∫ f(x) dx.

En definida: ∫_a^b k f(x) dx = k∫_a^b f(x) dx.

Adición de funciones

∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.

Aditividad por intervalos: si a < c < b, entonces

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx.

Diferencias entre integral definida e indefinida

La integral indefinida ∫ f(x) dx produce una familia F(x) + C. Sirve para hallar antiderivadas y resolver problemas simbólicos, mientras que, por su parte, la integral definida ∫_a^b f(x) dx devuelve un número real (acumulado con signo) y se calcula como F(b) – F(a).

Así pues, el Teorema Fundamental del Cálculo garantiza que derivar y acumular son procesos inversos en condiciones usuales de continuidad.

En titulaciones STEM se evalúan ambas modalidades con sustitución, partes e identidades trigonométricas.

En definitiva, hay que comprobar siempre el dominio de la función y la continuidad en el intervalo antes de usar una fórmula, y verificar el resultado derivándolo, de manera que, si la derivada de la antiderivada recupera la función original, vas por buen camino.

La tabla de integrales se trata de una herramienta fundamental en matemáticas

Dominar una tabla de integrales acelera el reconocimiento de patrones y reduce errores. Antes de integrar, clasifica el tipo de función, bien sea potencia, exponencial, logarítmica, trigonométrica o hiperbólica y, elige la técnica adecuada, probando primero la sustitución, mientras que, si no encaja, considera partes o identidades. En integrales definidas, evalúa con cuidado los límites y justifica el signo, ya que las áreas negativas existen.

Asimismo, hay que procurar evitar fallos típicos como olvidar “+C”; confundir ∫1xdx=ln∣x∣+C, o no ajustar el factor 1/a tras u=ax+b, siendo preciso verificar tu resultado derivando la respuesta y, si es definida, contrástalo con una estimación gráfica rápida.

---

Quizá te interesa leer sobre:

• Beneficios de las matemáticas
• Tabla de derivadas