Aprender a dividir polinomios resulta mucho más sencillo cuando entiendes primero qué representa cada parte de la operación y practicas después con ejercicios de dificultad progresiva. En esta guía encontrarás ejercicios de división de polinomios resueltos mediante el método general y la regla de Ruffini, desde divisiones sencillas entre monomios hasta operaciones de mayor grado, raíces y factorizaciones.
También aprenderás a elegir el método adecuado, detectar errores frecuentes y comprobar por ti mismo si cada resultado es correcto.
¿Qué es la división de polinomios? Dividendo, divisor, cociente y resultado de la división
Dividendo, divisor, cociente y resto: las 4 partes de una división de polinomios
La división de polinomios sigue una idea parecida a la división entre números enteros. Si divides 17 entre 5, obtienes un cociente de 3 y un resto de 2. Con los polinomios ocurre algo semejante, aunque en lugar de trabajar únicamente con números aparecen expresiones formadas por coeficientes y potencias de una variable.
Para poder realizar una división de polinomios, el divisor debe ser distinto del polinomio cero. Una vez cumplida esta condición, distinguimos cuatro elementos:
- Dividendo: D(x) es el polinomio que queremos dividir.
- Divisor: d(x) es el polinomio entre el que dividimos.
- Cociente: C(x) es el polinomio obtenido al efectuar la división.
- Resto: R(x) es lo que queda cuando ya no podemos continuar dividiendo porque su grado es menor que el del divisor.
El resultado completo de una división incluye, por tanto, el cociente y, cuando no es cero, también el resto. No debemos confundir el resto con el resultado de la división.
Las cuatro partes están relacionadas mediante una igualdad fundamental:
D(x) = d(x) · C(x) + R(x)
Esta igualdad proporciona una forma sencilla de comprobar cualquier ejercicio: multiplicamos el divisor por el cociente y sumamos el resto. Si obtenemos exactamente el dividendo original, la división es correcta. La relación entre dividendo, divisor, cociente y resto también aparece en los materiales de OpenStax sobre polinomios, cocientes y restos.
Una división está correctamente comprobada cuando el producto del divisor por el cociente, más el resto, reproduce exactamente el dividendo.
División exacta y división entera: cuándo el resultado de la división es exacto
El resto permite distinguir dos situaciones. Una división exacta es aquella en la que R(x) = 0. En ese caso, el dividendo es múltiplo del divisor y puede expresarse simplemente como el producto del divisor por el cociente.
Cuando R(x) ≠ 0, hablamos de división inexacta. En algunos materiales escolares también se utiliza la denominación «división entera» para este segundo caso.
- División exacta: R(x) = 0.
- División inexacta: R(x) ≠ 0.
Cuando existe resto, también podemos expresar el resultado mediante una suma formada por el cociente y una fracción cuyo numerador es el resto y cuyo denominador es el divisor:
D(x) / d(x) = C(x) + R(x) / d(x)
Propiedades de la división de polinomios: grados del dividendo, divisor y resto
Supongamos que dividendo y divisor son polinomios no nulos y que grado D(x) ≥ grado d(x). En estas condiciones, la división determina un cociente y un resto únicos.
- El grado del cociente cumple grado C(x) = grado D(x) − grado d(x).
- Si R(x) ≠ 0, entonces grado R(x) < grado d(x).
- Si R(x) = 0, la división es exacta.
- El divisor nunca puede ser el polinomio cero.
Conviene hacer la precisión sobre el resto cero porque, en el nivel que estamos trabajando, no necesitamos asignar un grado al polinomio cero. Basta con indicar que, si el resto desaparece, la división es exacta.
Ejercicio resuelto: identificar dividendo, divisor, cociente y resto de una división de polinomios
Considera la división de x³ − 2x² + 3x − 5 entre x − 2, sabiendo que el cociente es x² + 3 y el resto es 1.
- Dividendo: D(x) = x³ − 2x² + 3x − 5.
- Divisor: d(x) = x − 2.
- Cociente: C(x) = x² + 3.
- Resto: R(x) = 1.
Comprobamos ahora el resultado utilizando la igualdad fundamental:
(x − 2)(x² + 3) + 1 = x³ − 2x² + 3x − 6 + 1 = x³ − 2x² + 3x − 5
El resultado coincide con el dividendo, de modo que la identificación de las cuatro partes es correcta. Todavía no hemos necesitado realizar el algoritmo de división; eso es precisamente lo que veremos a continuación.
Cómo hacer una división de polinomios paso a paso (método general)
El método general o división larga permite dividir un polinomio entre otro siempre que el divisor no sea cero. Antes de empezar conviene ordenar ambos polinomios de mayor a menor grado. Si en el dividendo falta alguna potencia intermedia, reservaremos su posición para evitar errores de alineación.
División de un polinomio entre un monomio: ejercicio resuelto paso a paso
Cuando el divisor es un monomio y todos los términos pueden dividirse manteniendo exponentes no negativos, podemos dividir cada término por separado. Vamos a calcular (6x⁴ − 9x³ + 3x²) ÷ 3x².
(6x⁴ − 9x³ + 3x²) ÷ 3x² = 6x⁴ ÷ 3x² − 9x³ ÷ 3x² + 3x² ÷ 3x²
- 6x⁴ ÷ 3x² = 2x².
- −9x³ ÷ 3x² = −3x.
- 3x² ÷ 3x² = 1.
El resultado es:
2x² − 3x + 1
Cuando dividimos potencias de la misma base, restamos los exponentes. También debemos conservar correctamente los signos. En este ejemplo, el segundo término del dividendo es negativo, por lo que su cociente también lo es.
División de un polinomio entre un polinomio: ejemplo resuelto explicado paso a paso
Ahora vamos a dividir 2x³ + 3x² − 4x + 5 entre x + 2. Como el divisor tiene más de un término, aplicamos la división larga.
(2x³ + 3x² − 4x + 5) ÷ (x + 2)
- Dividimos los términos principales: 2x³ ÷ x = 2x². Este será el primer término del cociente.
- Multiplicamos 2x² por todo el divisor. Obtenemos 2x³ + 4x².
- Restamos ese producto del dividendo. El nuevo dividendo parcial es −x² − 4x + 5.
- Dividimos de nuevo los términos principales: −x² ÷ x = −x.
- Multiplicamos −x por x + 2. El producto es −x² − 2x. Al restarlo obtenemos −2x + 5.
- Dividimos −2x ÷ x = −2. Multiplicamos −2(x + 2) = −2x − 4 y efectuamos la última resta.
- El término que queda es 9. Como su grado es menor que el del divisor, ya no podemos continuar.
Por tanto:
C(x) = 2x² − x − 2; R(x) = 9
En cada etapa de la división larga, el siguiente término del cociente se obtiene dividiendo el término principal del dividendo parcial entre el término principal del divisor.
Podemos comprobar la respuesta aplicando la igualdad estudiada anteriormente:
(x + 2)(2x² − x − 2) + 9 = 2x³ + 3x² − 4x + 5
Como recuperamos exactamente el dividendo, el cociente y el resto son correctos.
Qué hacer cuando falta algún término: ejercicio resuelto con huecos en el polinomio
Uno de los errores más habituales aparece cuando el dividendo no contiene todas las potencias. Considera (x⁴ − 3x² + 2) ÷ (x − 1). Faltan los términos de grado 3 y grado 1.
Antes de dividir, escribimos los coeficientes cero correspondientes:
x⁴ + 0x³ − 3x² + 0x + 2
Estos ceros no cambian el valor del polinomio. Su función es mantener cada potencia en la posición correcta durante las restas.
Aplicando la división larga obtenemos:
C(x) = x³ + x² − 2x − 2; R(x) = 0
La división es exacta. Más adelante veremos que este resto cero tiene además una interpretación relacionada con las raíces del polinomio.
Errores más comunes al dividir polinomios, con ejemplos de cada error
Muchos fallos no se deben a que el algoritmo sea difícil, sino a pequeños descuidos con signos, grados o términos ausentes. Esta tabla resume los más frecuentes:
| Error típico | Qué ocurre | Forma correcta |
|---|---|---|
| No cambiar los signos al restar | Se suma el producto obtenido en lugar de restarlo. | Restar todos los términos del producto, controlando cada signo. |
| Olvidar un término que falta | Las potencias dejan de estar alineadas. | Completar el hueco con coeficiente 0. |
| No ordenar el polinomio | El término principal puede quedar mal identificado. | Ordenar siempre las potencias de mayor a menor grado. |
| Dar únicamente el cociente | La respuesta queda incompleta cuando el resto no es cero. | Indicar cociente y resto o expresar el resultado mediante C(x) + R(x)/d(x). |
Si dudas durante una operación, comprueba dos cosas antes de continuar: que las potencias están alineadas y que has cambiado correctamente los signos al efectuar cada resta.
Ejercicios de división de polinomios resueltos
Una vez entendido el algoritmo, la mejor forma de afianzarlo es resolver operaciones variadas. En esta batería encontrarás divisiones entre monomios y polinomios, empezando por casos sencillos y terminando con divisores y dividendos de mayor grado.
Ejercicios resueltos de división entre un monomio
| N.º | Enunciado | Resultado |
|---|---|---|
| 1 | (8x⁵ − 12x³) ÷ 4x² | 2x³ − 3x |
| 2 | (15x⁵ − 10x⁴ + 5x²) ÷ 5x² | 3x³ − 2x² + 1 |
| 3 | (−6x⁶ + 9x⁴ − 3x²) ÷ 3x² | −2x⁴ + 3x² − 1 |
| 4 | (10x³ − 5x² + 15x) ÷ 5x | 2x² − x + 3 |
En estos cuatro ejercicios basta con dividir cada término entre el monomio. Si quieres comprobar una respuesta, multiplica de nuevo el resultado por el divisor. Debes recuperar el polinomio de partida.
Ejercicios resueltos de división entre polinomios — 2.º y 3.º de ESO
| N.º | Enunciado | Cociente | Resto |
|---|---|---|---|
| 1 | (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) | x + 3 | 0 |
| 2 | (x² − 7x + 10) ÷ (x − 5) | x − 2 | 0 |
| 3 | (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1) | 2x + 5 | 0 |
| 4 | (x³ − x² − 4x + 4) ÷ (x − 2) | x² + x − 2 | 0 |
Las cuatro operaciones son exactas. Esto significa que, en cada caso, el divisor multiplica exactamente al cociente para producir el dividendo. Es una buena batería para practicar el algoritmo sin tener que gestionar todavía un resto distinto de cero.
Ejercicios resueltos de división de polinomios — 4.º ESO y Bachillerato
En los siguientes ejercicios aparecen dividendos de mayor grado, términos ausentes y divisores de grado superior a 1. Aquí conviene prestar especial atención a la colocación de cada potencia.
| N.º | Enunciado | Cociente | Resto |
|---|---|---|---|
| 1 | (3x⁴ − 2x³ + x − 4) ÷ (x² + 1) | 3x² − 2x − 3 | 3x − 1 |
| 2 | (x⁵ − 3x³ + 2x − 1) ÷ (x² − x + 1) | x³ + x² − 3x − 4 | x + 3 |
| 3 | (2x⁴ + x³ − 3x² + x − 2) ÷ (2x − 1) | x³ + x² − x | −2 |
En el primer y segundo ejercicio el divisor tiene grado 2. Ruffini no es el método directo adecuado para esas operaciones, por lo que la división larga es la opción natural. Además, el resto puede ser un polinomio, siempre que su grado sea menor que el del divisor.
Ejercicios resueltos de división exacta vs. división entera
Comparemos ahora una división exacta con otra inexacta para observar la diferencia en la respuesta final.
| Tipo | Enunciado | Cociente | Resto | Conclusión |
|---|---|---|---|---|
| Exacta | (x³ − 8) ÷ (x − 2) | x² + 2x + 4 | 0 | El divisor es un factor del dividendo. |
| Inexacta | (x³ + 2x − 5) ÷ (x − 1) | x² + x + 3 | −2 | La respuesta debe conservar el resto. |
En la segunda operación podemos expresar el resultado completo así:
x² + x + 3 − 2/(x − 1)
Divisiones por Ruffini: la regla de Ruffini paso a paso
La regla de Ruffini, también conocida como división sintética en otros contextos, permite abreviar determinadas divisiones. En lugar de escribir los polinomios completos durante todo el procedimiento, trabajamos principalmente con sus coeficientes.
¿Cuándo se puede aplicar la regla de Ruffini?
La versión de Ruffini que se estudia habitualmente en ESO y Bachillerato se aplica directamente cuando el divisor tiene la forma x − a. Si aparece x + a, basta con escribirlo mentalmente como x − (−a).
- El divisor es lineal, es decir, de grado 1.
- En la forma directa que utilizaremos, el coeficiente de x es 1.
- Un divisor como x² + 1 requiere el método general.
- Para un divisor x + 2, el número utilizado en la tabla es −2.
Existen transformaciones y variantes que permiten tratar otros divisores lineales, pero no son necesarias para los ejercicios de este nivel. La explicación educativa de la Xunta de Galicia sobre división de polinomios y Ruffini muestra también la disposición mediante coeficientes y el uso del cero cuando falta algún término.
Antes de empezar una tabla de Ruffini, convierte el divisor mentalmente a la forma x − a. El número que utilizas en la tabla es precisamente a.
Pasos para dividir un polinomio por Ruffini: ejercicio resuelto paso a paso
Vamos a resolver (x³ − 4x² + x + 6) ÷ (x − 3). Como el divisor es x − 3, utilizamos a = 3. Los coeficientes del dividendo son 1, −4, 1, 6.
| Paso | Operación | Resultado |
|---|---|---|
| 1 | Bajamos el primer coeficiente. | 1 |
| 2 | Multiplicamos 1 · 3 y sumamos con −4. | −1 |
| 3 | Multiplicamos −1 · 3 y sumamos con 1. | −2 |
| 4 | Multiplicamos −2 · 3 y sumamos con 6. | 0 |
Los tres primeros números obtenidos son los coeficientes del cociente. El último número corresponde al resto:
C(x) = x² − x − 2; R(x) = 0
El cociente tiene un grado menos que el dividendo porque estamos dividiendo entre un polinomio de grado 1. Como el resto es cero, la división es exacta.
Ruffini con divisor (x + a) y con términos que faltan: ejercicio resuelto
Vamos a calcular (x⁴ − 16) ÷ (x + 2). En el dividendo faltan los términos de grados 3, 2 y 1, por lo que sus coeficientes deben aparecer como ceros.
Los coeficientes que utilizamos son 1, 0, 0, 0, −16. Además, como x + 2 = x − (−2), el valor que colocamos en Ruffini es −2.
Tras bajar, multiplicar y sumar sucesivamente, obtenemos los coeficientes 1, −2, 4, −8 y un resto 0.
C(x) = x³ − 2x² + 4x − 8; R(x) = 0
Este ejercicio reúne dos de las situaciones que más errores provocan: utilizar el signo incorrecto del número asociado al divisor y olvidar los coeficientes cero correspondientes a potencias ausentes.
El teorema de Ruffini
Hasta ahora hemos utilizado Ruffini como un procedimiento de cálculo. Sin embargo, el resto de una división entre P(x) y x − a también proporciona información sobre el valor del polinomio en a, sus raíces y sus posibles factores.
Enunciado del teorema de Ruffini y su relación con las raíces de un polinomio
Una raíz o cero de un polinomio es un valor que hace que el polinomio valga cero. Por tanto, decimos que a es una raíz de P(x) cuando P(a) = 0.
La relación entre raíces y factores puede expresarse de esta manera:
P(a) = 0 ⇔ (x − a) es factor de P(x)
Es decir, a es raíz de P(x) si y solo si la división de P(x) entre x − a es exacta. Esta equivalencia se conoce matemáticamente como teorema del factor. En determinados materiales escolares se estudia dentro del apartado denominado «teorema de Ruffini» por su relación directa con este procedimiento.
- Si P(a) = 0, entonces a es una raíz.
- Si a es una raíz, x − a es un factor de P(x).
- Si el resto de dividir entre x − a es cero, la división es exacta.
Diferencia entre el teorema de Ruffini y el teorema del resto
El teorema del resto establece que, al dividir P(x) entre x − a, el resto es exactamente P(a). Esta relación, explicada también en el material de LibreTexts sobre división de polinomios y teorema del resto, permite conectar directamente evaluación, resto y raíces.
| Criterio | Teorema del resto | Relación raíz-factor |
|---|---|---|
| Qué afirma | El resto de dividir P(x) entre x − a es P(a). | a es raíz si y solo si x − a es factor de P(x). |
| Para qué sirve | Permite obtener o comprobar el resto. | Permite identificar raíces y factores. |
| Si P(a) = 0 | El resto es 0. | x − a divide exactamente al polinomio. |
Los dos resultados están estrechamente relacionados, pero responden a preguntas distintas. El teorema del resto indica cuánto vale el resto; la relación raíz-factor interpreta qué significa que ese resto sea cero.
Ejercicio resuelto: comprobar si un valor es raíz de un polinomio aplicando el teorema de Ruffini
Sea P(x) = x³ − 3x² − x + 6. Vamos a comprobar si 2 y 1 son raíces.
Primero utilizamos a = 2. Los coeficientes son 1, −3, −1, 6. Ruffini proporciona como último valor 0. Por tanto:
P(2) = 0
Así que 2 es una raíz y x − 2 es un factor de P(x).
Repetimos el procedimiento con a = 1. Esta vez el resto es 3:
P(1) = 3
Como el resultado no es cero, 1 no es una raíz y x − 1 no es un factor del polinomio.
Cómo aplicar el teorema de Ruffini para factorizar un polinomio
Vamos a factorizar P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6. Este polinomio es mónico —su coeficiente principal es 1— y todos sus coeficientes son enteros. Si posee una raíz entera, esa raíz debe ser un divisor del término independiente.
Como el término independiente es −6, los candidatos enteros son ±1, ±2, ±3 y ±6. Esto permite reducir la búsqueda a un conjunto pequeño de valores.
- Probamos a = 1. Ruffini da resto 0, por lo que x − 1 es factor. El cociente obtenido es x² − 5x + 6.
- Aplicamos Ruffini al cociente con a = 2. El resto vuelve a ser 0 y obtenemos x − 3.
- El factor restante proporciona la raíz 3.
La factorización completa es:
P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
Las raíces son 1, 2 y 3. Este procedimiento conecta Ruffini con la factorización de polinomios: cada vez que encontramos una raíz, podemos extraer el factor correspondiente y continuar trabajando con un polinomio de menor grado.
Ejercicios de divisiones de polinomios resueltos por Ruffini
Los siguientes ejercicios permiten practicar Ruffini sin volver a explicar cada paso del procedimiento. Antes de consultar la solución, identifica el valor de a, escribe todos los coeficientes —incluidos los ceros necesarios— y completa la tabla por tu cuenta.
Ejercicios resueltos de Ruffini con resto cero (división exacta)
| N.º | Enunciado | Cociente | Resto |
|---|---|---|---|
| 1 | (x³ − 1) ÷ (x − 1) | x² + x + 1 | 0 |
| 2 | (x⁴ − 16) ÷ (x − 2) | x³ + 2x² + 4x + 8 | 0 |
| 3 | (2x³ − 3x² − 11x + 6) ÷ (x − 3) | 2x² + 3x − 2 | 0 |
En todos estos casos el último número obtenido mediante Ruffini es cero. Eso confirma que cada divisor es un factor exacto del polinomio correspondiente.
Ejercicios resueltos de Ruffini con resto distinto de cero
| N.º | Enunciado | Cociente | Resto |
|---|---|---|---|
| 1 | (x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x − 1) | x² + 3x + 2 | 7 |
| 2 | (x⁴ − x³ + 2x − 3) ÷ (x + 1) | x³ − 2x² + 2x | −3 |
En el primer ejercicio, por ejemplo, el cociente es x² + 3x + 2 y el resto es 7. Por tanto, la división es inexacta y el número 1 no es una raíz del dividendo.
Ejercicios resueltos: usar Ruffini para factorizar y hallar raíces
| N.º | Polinomio | Raíces | Factorización |
|---|---|---|---|
| 1 | x³ − 2x² − 5x + 6 | 1, −2, 3 | (x − 1)(x + 2)(x − 3) |
| 2 | x⁴ − 5x² + 4 | −2, −1, 1, 2 | (x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2) |
En el segundo ejercicio aparece un polinomio bicuadrado: solo contiene potencias pares de x. También podría resolverse utilizando temporalmente t = x². Así obtenemos t² − 5t + 4, cuyas soluciones son t = 1 y t = 4. Al recuperar la variable original aparecen x = ±1 y x = ±2.
Ficha de ejercicios de Ruffini resueltos en PDF para descargar
Si quieres seguir practicando, una ficha imprimible te permitirá trabajar sin tener las soluciones delante desde el primer momento. Lo ideal es combinar divisiones exactas, divisiones con resto, términos ausentes y ejercicios de factorización para comprobar que sabes identificar qué información proporciona cada tabla de Ruffini.
División larga vs. regla de Ruffini: ¿cuál usar en cada caso?
La elección entre división larga y Ruffini depende sobre todo del divisor. No son dos procedimientos que compitan entre sí: Ruffini es un método abreviado que resulta muy cómodo cuando se cumplen sus condiciones, mientras que la división larga es el procedimiento general.
Tabla comparativa: cuándo usar cada método
| Criterio | División larga | Regla de Ruffini |
|---|---|---|
| Tipo de divisor | Puede utilizarse con divisores polinómicos de distintos grados. | En su versión escolar directa, divisores de la forma x − a. |
| Grado del divisor | Puede ser 1, 2, 3... | Es 1. |
| Desarrollo | Trabaja con términos completos, multiplicaciones y restas. | Trabaja principalmente con coeficientes. |
| Qué obtenemos | Cociente y resto. | Cociente y resto; además facilita comprobar raíces y extraer factores. |
| Cuándo conviene | Cuando Ruffini no puede aplicarse directamente o queremos usar el método general. | Cuando el divisor tiene la forma adecuada y buscamos un cálculo más compacto. |
Ejercicio resuelto por los dos métodos, para comparar el resultado de la división
Vamos a resolver (x³ + 2x² − 5x − 6) ÷ (x − 2). El divisor tiene la forma adecuada para Ruffini, pero también podemos aplicar la división larga. Esto permite comprobar que ambos procedimientos conducen al mismo resultado.
Mediante división larga: el primer término del cociente es x². Tras multiplicar y restar obtenemos un nuevo dividendo parcial; repetimos el procedimiento con 4x y, finalmente, con 3. El resto es 0.
Mediante Ruffini: utilizamos a = 2 y los coeficientes 1, 2, −5, −6. El proceso de bajar, multiplicar y sumar produce 1, 4, 3, 0.
En los dos casos obtenemos:
C(x) = x² + 4x + 3; R(x) = 0
Por tanto, Ruffini no cambia el resultado de la división: simplemente abrevia los cálculos cuando el divisor cumple la condición necesaria.
Ejercicios de divisiones de polinomios para practicar (con soluciones)
Ha llegado el momento de trabajar sin el desarrollo delante. Resuelve primero los ejercicios en una hoja y consulta después las soluciones. Si obtienes un resultado distinto, vuelve al punto exacto en el que aparece la primera diferencia en vez de repetir toda la operación desde el principio.
Ejercicios de división de polinomios sin resolver, con solución al final
- (x³ + 3x² − x − 3) ÷ (x + 3).
- (2x⁴ − 3x³ + x² − 5) ÷ (x − 1).
- (x³ − 27) ÷ (x − 3).
- (3x⁴ + 2x² − x + 1) ÷ (x² + 1).
Soluciones:
- Cociente x² − 1; resto 0.
- Cociente 2x³ − x²; resto −5.
- Cociente x² + 3x + 9; resto 0.
- Cociente 3x² − 1; resto −x + 2.
Observa especialmente el cuarto ejercicio: como el divisor es de grado 2, el resto puede ser un polinomio de grado 1. No necesitamos que el resto sea un número; basta con que tenga un grado menor que el divisor.
Ejercicios de Ruffini sin resolver, con solución al final
- (x³ − 7x + 6) ÷ (x − 1).
- (x⁴ + x³ − 7x² − x + 6) ÷ (x + 3).
- (2x³ + x² − 8x − 4) ÷ (x + 2).
Soluciones:
- Cociente x² + x − 6; resto 0.
- Cociente x³ − 2x² − x + 2; resto 0.
- Cociente 2x² − 3x − 2; resto 0.
En el primer ejercicio no olvides colocar un cero para el término de grado 2: los coeficientes son 1, 0, −7, 6. Esa posición es necesaria para que la tabla de Ruffini mantenga correctamente el orden de las potencias.
Autoevaluación: comprueba tus resultados
Puedes utilizar una corrección muy sencilla: asigna un punto por cada cociente correcto y otro por cada resto correcto. Hay siete ejercicios, así que la puntuación máxima es de 14 puntos.
- De 0 a 5 puntos: vuelve al método general paso a paso y practica primero operaciones cortas.
- De 6 a 10 puntos: ya comprendes el procedimiento, pero conviene revisar signos, términos ausentes y restos.
- De 11 a 14 puntos: puedes trabajar con bastante autonomía y elegir entre división larga y Ruffini según el divisor.
No te limites a comparar visualmente la respuesta. Cuando tengas dudas, utiliza la igualdad fundamental para comprobar el cociente y el resto. En las divisiones por x − a, también puedes verificar el resto calculando P(a).
Preguntas frecuentes sobre las divisiones de polinomios resueltas y Ruffini
¿Cómo se sabe si una división de polinomios es exacta?
Una división de polinomios es exacta cuando su resto es 0. En ese caso, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente y el divisor es un factor del dividendo.
¿Se puede usar Ruffini si el divisor no es de la forma (x − a)?
La versión directa de Ruffini estudiada habitualmente en ESO y Bachillerato se utiliza con divisores de la forma x − a. Un divisor como x² + 1 no cumple esta condición y se resuelve mediante división larga.
¿Cómo se calcula el resultado de la división cuando hay términos que faltan?
Debes reservar la posición de cada potencia ausente utilizando un coeficiente 0. Por ejemplo, x⁴ − 3x² + 2 puede escribirse como x⁴ + 0x³ − 3x² + 0x + 2. Esto mantiene correctamente alineadas las potencias tanto en la división larga como en Ruffini.
¿Qué relación hay entre el teorema de Ruffini y la factorización de polinomios?
Si el resto de dividir P(x) entre x − a es 0, entonces a es una raíz y x − a es un factor. Podemos continuar con el cociente para buscar nuevas raíces y descomponer el polinomio.
